数学问题1466的引申

代昌文

《数学通报》2003．12期数学问题1466为：

设M=52001+72002+92003+112004。求证M能被8整除。

《数学通报》2004．1期，出题者在数学问题解答栏中，给出了上述命的一种证法，但证法较繁。

《数学通报》2005．6期，常瑞连老师给出了数学问题1466的两种简便证法。

本文将上述命题作如下引申：

设M=12m+1+32m+2+52m+3+72m+4+……+(2k-1)2m+k

其中m∈N，K∈M+．

则M除以8的余数是：当k=4n时，余数是0；当k=4n+1时，除数是1；当k=4n+2时，余数是2；当k=4n+3时，余数是7。(n∈N+)．

证明：将底数1，3，5，7…2k一1表示成8a+b(a∈N，0≤b<8)的形成，并且将这个k个数按由小到大的次序每四个数为一行，最后不足四数的排在最后一行。

(1)当k=4n时，2k-1-8n-1=8(n一1)+7

M=12m+132m+2+52m+3+72m+4+……+〔8(n-1)+7〕2m+4n

=12m+1+32m+2+52m+3+72m+4

+(8+1)2m+5+(8+3)2m+6+(8+5)2m+7+(8+7)2m+8

+(8×2+1)2m+9+(8×2+3)2m+10+(8×2+5)2m+11+(8×2+7)2m+12

……………………………………………………

+〔8(n-1)+1〕2m+4n-3+〔8(n-1)+3〕3m+4n-2+〔8(n-1)+5〕2m+4n-1+〔8(n-1)+7〕2m+4n

共有n行，每一行都是四个数，容易证明其中任意一行的四个数之和均能被8整除。

任取第L行（1≤L≤n）

［8(L-1)+1］2m+4L-3+［8(L-1)+3］2m+4L-2+［8(L-1)+5］2m+4L-1+［8(L-1)+7］2m+4L

∵(8L-1)+1≡1(mod8),8(L-1)+3≡3(mod8)

8(L-1)+5≡5(mod8),8(L-1)+7≡7(mod8)

49≡1(mod8),25≡1(mod8),9≡1(mod8),

∴［8(L-1)+1］2m+4L-3≡1(mod8)

［8(L-1)+3］2m+4L-2≡32m+4L-2≡9m+2L-1≡1(mod8)

［8(L-1)+5］2m+4L-1≡52m+4L-1≡52(m+2L-1)+1≡5×25m+2L-1≡5(mod8)

［8(L-1)+7］2m+4L≡72m+4L≡49m+2L≡1(mod8)

∴［8(L-1)+1］2m+4L-3+［8(L-1)+3］2m+4L-2+［8(L-1)+5］2m+4L-1+［8(L-1)+7］2m+4L≡8(mod8)

即第L行的四个数之和能被8整除。

又1≤L≤n

故当K=4n时，M能被8整除，也就是M除以8的余数是0。