遨游在平行线间的折线

郎维江

贵定二中郎维江

这是教完人教版“三角形”后的一次教学实践，正值期中考试前的复习，为了再现知识，重塑记忆，形成技能，辅助线的添置，沟通条件与结论的联系，我有四个意图：（1）结合相关知识，从多角度演练平行线的性质和判定；（2）利用一题多解，培养学生的开放意识与发散思维；（3）降低问题起点，关注个性差异。着眼于不同学生的不同发展；（4）在变化中发现规律、提炼思想。决定选用一个简单小问题。让学生积极参与，从而对刚学过的知识，进行一次大演练。

一、直觉搭台，逻辑唱戏

题目：1、[人教版第五章23页，选择题（2）]如图1.AB∥CD∥EF。那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝（）

（A）180°（B）270°（C）360°（D）540°

点评：凭借直觉，位置关系平行线的性质，将不费吹灰之力，学生马上选择（C）。

因为AB∥CD

所以∠BAC＋∠ACD＝180°

同理∠DCE＋∠CEF＝180°

所以∠BAC＋∠ACD＋∠DCE＋∠CEF＝180°＋180°

所以∠BAC＋∠ACD＋∠CEF＝360°

题目2.如图2AB∥EF、∠A、∠C、∠E有什么关系？并说明理由。

解法一：过C作CD∥AB

因为AB∥EF

所以CD∥AB∥EF这就还原。之后解法同上。

点评：与题目1相比，图中少了一条直线CD，少了二个条件（1）AB∥CD（2）CD∥EF，但由于题目1存在，问题2的提出激发了学生的思考、模仿，添置辅助线，促进了学生的早慧。学生马上回答三角之和等于360°。

解决问题的关键转换成怎样作辅助线CD说明AB∥CD∥EF，从而降低了难度，极大地调动了学生的积极性。

二、另辟蹊经、事半功倍

解法二：过A作CE的平行线AM（不过E作AC的平行线）

因为CE∥AM

所以∠E＝∠1

∠C＋∠2＝180°

又因为AB∥EF

所以∠BAM＋∠1＝180

所以∠BAM＋∠2＋∠C＋∠1＝180°＋180°

所以∠BAC＋∠C＋∠E＝360°

解法三：过C作CG⊥AB是，所以∠AGC＝90°

因为AB∥EF

所以∠AGC＋∠CHE＝180°

所以∠CHE＝180°－∠AGC＝180°－90°＝90°

所以∠BAC＝∠AGC＋∠GCA＝90°＋∠GCA

∠FEC＝∠CHE＋∠HCE＝90°＋∠HCE

所以∠BAC＋∠ACE＋∠FEC＝90°＋∠GCA＋∠ACE＋90°＋∠HCE

＝180°＋∠GCD＋∠ACE＋∠HCE

＝180°＋180°

＝360°

点评：不同的知识点，不同的解法，殊途同归，利用一题多解，培养了学生的开放意识与发散思维。

三、百尺竿头，再进一步

题目3：如图3，若∠A＋∠C＋∠E＝360°

AB与EF的位置关系，说明理由。

解法一：AB∥EF

过C作CD∥AB

所以∠A＋∠ACD＝180°

又因∠A＋∠ACE＋∠E＝360°

所以∠DCE＋∠E＝180°

所以CD∥EF

所以AB∥EF

点评：题目2与题目3，题设与结论互置，说理方向也恰好相反（方法2、3、4、5略），题目3受题目2的牵引，这样极大地调动了学生的积极性，通过对比迁移，唤醒了学生的思维，使学生的思维得到了发展。

四、投石问路，激活思维

题目4：如图4，AB∥EF，猜想∠A、∠C、∠E之间有何关系，并说明理由：

解：∠C＝∠A＋∠E

过C作CD∥AB

所以∠A＝∠1

因为CD∥ABAB∥EF

所以CD∥EF

所以∠2＝∠E

所以∠1＋∠2＝∠A＋∠E

所以∠ACE＝∠A＋∠E

点评：以探索的方式，呈现适度的开放，营造了宽松的氛围，纵然投下一个小小的“石子”，也能激起学生的思维的涟漪，使学生的思维在一次一次的冲浪中展示潜能，品尝成功的喜悦。

五、触类旁通，乘胜追求

题目5：如图四条折线时，若AB∥EF，则∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4，反之，若∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4，则AB∥EF。

说明过程略

点评：推广进一步引导学生，当两平行线之间有三条及三条以上折线时，可得同向所有角之和与异向所有角之和相等。

题目6：如图8，当有的折线在外时，若AB∥EF，则∠ACE＝∠CEF－∠CAB，反之若∠ACE＝∠CEF－∠CAB。

说明过程略

点评：启动起来的思维携带着无尽的能量，学生的思维空间更加开阔，以上的问题提出，蕴含着辩证的观点，由内到外，由少变多，完善了图形变化的种类，同时也展现了分类的思想。

有效的习题课教学，师生、学生间的思维碰撞必须不可少，更要注意搭建学生“敢想敢做”的平台，以探索的方式呈现智谋的开放，营造宽松扭转的课堂，使他们在思维冲浪中展示潜能，将所教的知识、能力和智慧“内化”到学生的心灵深处生根、开花、结果。