求函数值域的几种方法

黄江琳

黄江琳

(田东县高级中学广西田东531500)

【摘要】本文给出了配方法、判别式法、函数单调性法等几种求函数值域的方法。

【关键词】函数；值域；求法

函数的值域是函数的三要素之一，掌握好求函数值域的方法，对理解函数的概念意义重大，而函数概念是贯穿于整个高中课程的，因此，掌握求函数值域的方法对整个高中数学课程而言，具有至关重要的意义。而整个高中课程所讨论的函数几乎全部是初等函数，所以本文试图对常见的求初等函数值域的方法作一简要总结。

1.配方法

求二次函数类值域最基本的方法，像的函数值域问题，均可用配方法，对于与二次函数复合而成的函数，可尝试对二次函数进行配方，进而利用与其复合的函数的性质求其值域。

例1：求函数的值域。

思路点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由，可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

时，

或2时，

函数的值域是[0，3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

例2：求函数的值域。

解答:此题可以看作是和两个函数复合而成的函数，对配方可得:，得到函数的最大值，再根据得到为增函数且，故函数的值域为:.

2.判别式法

判别式法——适用于二次分式形式的函数，尤其适用于分母为二次多项式的函数，解决的办法是先将函数化成方程，即隐函数的形式，再利用一元二次方程的理论求解问题。

例3：求函数的值域。

解:先将此函数化成隐函数的形式得:

(1)当y=0时，x=-1

当时，这是一个关于的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式

，

解得:。

故原函数的值域为:。

点评：把函数关系化为二次方程F(x，y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。

3.单调性法

单调性法——利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例4：求函数的值域。

思路点拨：由已知的函数是复合函数，在定义域内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：

所以，函数的定义域为

而和在上是增函数

函数在上是增函数，

又当时，

所以，函数的值域为

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

收稿日期：2012-12-15