同余理论在数学竞赛中的应用

李斌张艳琴

李斌张艳琴

摘要：利用同余理论中同余的定义、性质和重要定理解决数学竞赛中有关余数、整除、数列和不定方程等问题。

关键词：同余；模；整除；剩余类

同余理论是初等数论的重要组成部分，也是研究初等数学的有效工具之一。近几年来，在初、高中数学竞赛中，与同余有关的试题越来越多。这就要求我们不但要掌握同余理论，而且要深入探讨同余理论在数学竞赛中的应用，为解决相关问题提供思路和方法。下面结合数学竞赛试题讨论同余理论及其应用。

一、同余的基本理论

1.同余的相关定义

二、同余理论的应用

1.余数方面

由同余的定义可以看出，同余是以带余除法为基础的，其中的“余数相同”是指带余除法中的余数相同。因此一些较为复杂的余数问题借助同余理论来解决会更为简洁灵活。在数学竞赛中，余数问题主要是以以下两种形式出现：

(1)直接求余数

综合(1)(2),可证得原方程无整数解.

从以上的例题可以看出,解决与同余理论有关的数学竞赛试题,首先要仔细观察,善于发现试题的特征，进而将问题巧妙地转化为同余理论的相关问题,最后利用同余的定义、基本简洁明了.

参考文献：

[1]闵嗣鹤,严士健.初等数论[M].北京:高等教育出版社,2003.

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[5]林晓燕.谈同余理论在初等数学中的几点应用[J].怀化学院学报,1995(5).

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作者单位：陕西省安康市石泉县石泉中学

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