垂直于弦的直径

冯志强张国芝

设计者：黑龙江省农垦红兴隆管理局北兴中学冯志强

点评者：黑龙江省农垦红兴隆管理局北兴中学张国芝

课标要求及分析：

要求：探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。

分析：课标要求的纬度目标即属于过程性目标也属于结果性目标；学习水平是探索和运用，行为动词是探索，证明，学习内容是垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。

教材分析：

本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础,它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力,所以它在教材中处于非常重要的位置。

学情分析：

优势：学生在生活中经常遇到圆方面的图形，对本节课会比较有兴趣,并且学过轴对称图形相关知,同时九年级的同学仍然是比较好奇、好动、好表现的年龄，善于观察总结。

劣势：在合作交流、探索新知等方面发展的极不均衡。在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。

教学重、难点：

课标要求，“垂径定理”是今后解决有关计算证明和作图问题的重要依据，它有广泛的应用,教材分析指出本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础,它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据.因此，根据课标要求和教材分析确定本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。

课标要求探索并证明垂径定理,但从学生学情分析中可以看出,在合作交流、探索新知等方面发展的极不均衡。在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。因此，通过对课标内容分析和学情分析确定本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。

学习目标：

1、探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧，运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

2、通过自主探索、合作交流，收获新知；渗透数形结合思想。

3、通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。

教学流程：

一、导入新课：（2分钟）

教师演示：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你得到什么结论？

结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

在引入新课的同时，然后再请同学们在自己作的圆中作图：

(1)任意作一条弦AB；

(2)过圆心作AB的垂线得直径CD且交AB于E。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB的垂直关系，说明CD是垂于弦的直径，并设问：它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？引出本节课的课题，板书课题24.1.2垂直于弦的直径。

【点评：由学生熟知的问题开始，并且通过全体学生参与实验，逐步导出新课，自然贴切。】

二、检查预习：（3分钟）3、4号学生展示

【点评：检查自学情况，根据学生掌握程度调整教学内容和进度。】

1.判断下列图形，能否使用垂径定理？

2.垂径定理的内容：（）

三、自主学习：（5分钟）

学生自学教材，教师巡视指导，学生完成导学案。

【点评：培养学生自主学习能力，教师适时的点拨帮助学生理解知识。】

四、合作探究：（15分钟）

首先让学生实验、观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想的条件和结论，并将文字语言转化为符号语言，写出已知、求证，为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。

接下来再对学生引导分析，让学生合作讨论，展示成果。最后师生共同演示、验证猜想的正确性，同时利用动画得出证明方法，从而解决本节课的又一难点——叠合法的证题方法。

小组合作交流后由1、2号展示，互相补充，教师点睛。

此时再板书垂径定理的内容，强调“垂”与“径”缺一不可，最后进行定理变式为了强调定理及定理变式中的条件，出示训练一，让学生抢答。

1.如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,DC⊥AB于E,则下列结论不一定正确的是()

A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.OE=BED.BD=B

2.已知⊙O半径为5cm,弦AB长为8cm,则这条弦的中点到这条弦所对的劣弧中点的距离为()

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【点评：通过“实验--观察--猜想--证明”的过程，让每个学生都有所得，完成知识与技能的过程中渗透了数学思想和解决问题的策略和方法，感受成功，建立自信。通过练习及时巩固，帮助学生对所学定理的进行理解与运用。】

五、拓展延伸：（8分钟）

1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=20，CM=4，求AB、OM的长。

2、如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD.求证：AC=BD。

【点评：依据学生的实际情况及他们的心理特点，在基础练习的前提下增加梯度，循序渐进的与代数相关的变式题组训练2道，提升学生的能力。】

六、归纳总结:（2分钟）本节课你有哪些收获与疑惑？学生总结

【点评：培养学生语言表达和归纳总结能力。】

七、当堂检测：（5分钟）

基础:1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,那么圆心O到弦AB的距离是。

2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是。

3．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是。

提升：如图:一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。

【点评：检测学生对本课教学目标的达成情况，进一步加强定理的应用训练。】

总体点评：

自主学习、动手操作和合作探究是学生学好数学的有效方式，本节课学生通过自主学习、动手操作和合作探究经历知识的产生、发展和应用，感悟数学思想，积累活动经验，提高数学素养。具体如下：

（一）准确定位师生角色。课堂上以学生为学习主体，充分发挥能动性，教师点拨引导，鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，鼓励创新。

（二）合作探究中经历知识产生、发展过程。学生在体验了“实验操作——探究发现——科学论证”的过程后，从单纯地重视知识点的记忆、复习变为有意识关注学习方法的掌握、数学思想的领悟。

（三）构建教与学多边互动，获得师生双赢。本课不仅关注了“教”的预设，而且关注了“学”的动态发展，在各环节中实现师生和生生互动，提升学生逻辑思维能力，提升教师教学能力，促进教学相长。

（四）鼓励学生思考方法的多样化。培养学生的发散思维、求异思维和创新能力。