例谈分段函数

范易佳

河南省叶县高级中学范易佳

【中图分类号】G633.34【文章标识码】B【文章编号】1326-3587（2012）09-0026-02

分段函数是一类典型的函数，在高中数学教材中并没有明确给出定义和说明，但分段函数处处可见。因此，在教学过程中不能忽视，本文就分段函数的若干问题举例说明。

一、分段函数的定义

1.若实数区间错误！未找到引用源。Φ，则定义在叫分段函数。

2.其特征是自变量在定义域的不同子区间上取值时，对应法则不同。

3.要正确区分分段函数与多值函数。

例如：如写作y=±(x+1)是错误的。

二、分段函数的应用

1.求解析式。

例1.如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点p，沿折线BCDA由B（起点）向点A（

终点）运动，设p运动的路程为x,△APB的面积为y，求y关于x的函数关系式

解：当0≤x<4时，y=错误！未找到引用源。4错误！未找到引用源。

当4≤x≤8时，y=错误！未找到引用源。4错误！未找到引用源。

当8≤x≤12时，y=错误！未找到引用源。4错误！未找到引用源。

故y与x的函数关系式为：y=y=错误！未找到引用源。

2.求值。

例2.已知则x的值为（）

A、1B、1或错误！未找到引用源。C、

辨析：当x

当-1<x<2时，

当不合题意，故选D。

3.画图象。

例3.画出的图象

解：，去根号得

去绝对值符号得

于是，画出图象如图3。

4.求最值。

例4．对于每个实数x，设f(x)取y=4x+1，y=x+2,y=-2x+4三个函数的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求出f(x)的最大值。

解析：由直线y=4x+1与y=x+2求得交点

由直线y=x+2,y=-2x+4，求出交点由图象可看出的最大值为f((错误！未找到引用源。

5.求单调区间。

例5.画出的图像，指出其单调区间。

解析：画出画出的图像如图，可知f(x)在区间(-∞,0]和[1，+∞)上都是增函数，在区间[0,1)上是减函数。

6.判奇偶性。

例6.判断的奇偶性。

解：

∴f(x)=-f(x)

∴f(x)为奇函数。

分段函数是高中函数的重要类型，要正确理解这种函数与构成它的各个“分函数”之间的关系，处理好整体与局部的关系，在求解分段函数时，要十分注意分类讨论思想的指导作用，采用分合相辅的解题策略（将分而治之与整体思考结合起来，从合求分，分合并用），并灵活运用处理函数问题的思想和方法。