排序定理的推广

连永梅

连永梅(怀仁一中)

摘要：从排序定理出发推导出两个新的排序不等式，并给出一些应用实例。

关键词：排序定理同序乘积的和乱序乘积的和同序和的乘积乱序和的乘积

1排序定理引出的两个不等式

对于许多不等式问题，如果把所涉及到的数按照大小顺序排列，讨论起来就会比较简单，因为我们有下面的排序定理

引理1[1]（关于排序乘积的和的不等式）设两个有序数组：

a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，则对于1，2，…n的任意一排列i1，i2，…in有

a1b1+a2b2+…+anbn（同序乘积的和）

≥a1bi1+a2bi2+…+anbin（乱序乘积的和）

≥a1bn+a2bn-1+…+anb1（逆序乘积的和）。

如果我们令引理1中的n=2，设0＜a1≤a2,0＜b1≤b2则有a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1再将此不等式两边同时加上a1a2+b1b2，得a1a2+b1b2+a1b1+a2b2≥a1a2+b1b2+a1b2+a2b1即

(a1+b2)(a2+b1)（乱序和的乘积）≥(a1+b1)(a2+b2)（同序和的乘积）

由此我们考虑，将引理1中的“和”与“积”、“≥”与“≤”互换，于是又得到一个相应的排序定理：

定理1（关于排序和的乘积的不等式）设有两组有序正数：

0＜a1≤a2≤…≤an，0＜b1≤b2≤…≤bn

则对于1，2…n的任一排列i1，i2，…in，有

(a1+b1)(a2+b2)…(an+bn)（同序和的乘积）

≤(a1+bi1)(a2+bi2)…(an+bin)（乱序和的乘积）

≤(a1+bn)(a2+bn-1)…(an+b1)（逆序和的乘积）

证明若bi1≤bi2≤…≤bin，则bik=bk(k=1,2,…，n)，那么，同序和的乘积=乱序和的乘积；

若bi1，bi2，…bin中至少有两个反序，不妨设bi1＞bi2那么

(a1+bi1)(a2+bi2)-(a1+bi2)(a2+bi1)=(a1-a2)(bi2-bi1)＞0。

由此，同序和的乘积＜乱序和的乘积。进而，若bi1，bi2，…，bin是全反序，则乱序和的乘积≤逆序和的乘积。

由排序定理，我们考虑如果条件中的有序数组不仅是2个而是更多，比如说m个，会有什么情况呢？用数学归纳法，不难证明下面定理：

定理2（关于多个有序数组的排序不等式）设有m组有序正数，

0＜a11≤a12≤…≤a1n，

0＜a21≤a22≤…≤a2n，

……………………

0＜am1≤am2≤…≤amn，

设a'i1，a'i2，…，a'in是ai1，ai2，…，ain的任一个排列，i=1，2，…，m。则

a11a21…am1+a12a22…am2+…+a1na2n…amn（同序乘积的和）

≥a'11a'21…a'm1+a'12a'22…a'm2+…+a'1na'2n…a'mn（乱序乘积的和）

并且(a11+a21+…+am1)(a12+a22+…+am2)…(a1n+a2n+…+amn)（同序和的乘积）

≤（a'11+a'21+…+a'm1）（a'12+a'22+…+a'm2）…（a'1n+a'2n+…+a'mn）（乱序和的乘积）。

2排序定理的应用实例

例1设a，b，c为正数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc。

证明这是关于乘法形式的对称不等式，由对称性可设a≤b≤c，由定理1，有(a+b)(b+c)(c+a)（乱序和的乘积）≥(a+a)(b+b)(c+c)（同序和的乘积）=8abc。

例2著名的算术-几何平均不等式：对于任意n个正整数a1，a2，…，an，有≥na1a2…an。

证明不妨设0＜a1≤a2≤…≤an则0＜a1≤a2≤…≤an，由定理2，令m=n且这n组有序正数全相同，那么(a1)n+(a2)n+…+(an)n（同序乘积的和）≥n(a1a2…an)（乱序乘积的和），

即≥na1a2…an。

利用排序定理可以证明某些著名不等式，对于具有对称形式的尤其简单。

例3证明，对任意n个实数a1，a2，…，an，有

证明这个不等式我们曾用柯西不等式证明过。它是加法形式的对称不等式，将n个实数排序，不妨设a1≤a2≤…≤an，于是有

……………………………………

把这n个不等式相加，再两边除以n2，便得

。

回顾下面在教学中遇到过的不等式，如果用排序定理来处理将是十分简单而有趣的。

例4若a，b，c是正数，则a+b+c≥ab+bc+ca。

证明由对称性，不妨设a≤b≤c，则a≤b≤c。由排序定理，有aa+bb+cc（同序乘积的和）≥ab+bc+ca（乱序乘积的和）。

即a+b+c≥ab+bc+ca。

例5x，y是正数，求证，。

证明由对称性，不妨设，由排序定理，有

（同序乘积的和）≥（逆序乘积的和）=x+y。

到底排序不等式还有多大的应用价值和潜力，还有待于广大数学爱好者在教学与研究中去探索。

参考文献：

[1]余元希.初等代数研究[M].高等教育出版社.1998.