数学“线性规划”初探

饶金刚

江西省临川区罗湖中学饶金刚

“线性规则”是新教材中新增加内容之一。在此谈谈本人在教学过程中对这一节的处理方法。

教材中首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等工可表示平面区域，再通过具体实例介绍线性规划问题及有关基本概、解法，并利用几道例题说明线性规划在实际中应用。

从这一内容课后学生反馈信息来看，学生对这种用数学处理实际问题较为感兴趣，入手很有章法。如何选择、确定最优解是重点，对实际问题的最优解要求取整点是难点，学生甚感头痛。在教学过程中不妨把它分两大类3种题型处理。

一、最优解不要求取整点

（1）将已知数据列表（熟练后可省）；（2）列出约束条件；（3）写出目标函数；（4）在直角坐标系中作出可行域；（5）判断斜率大小，平移目标函数所构成直线，确定最优解点位置；（6）解方程组，求最优点；（7）代入最优点，求最优值。

例如：下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本营养师想购这三种食物共10千克，使之所含维生素A不少于4500单位，维生素B不少于4800单位。

（1）试用所购甲、乙二种食物的量表示成本。

（2）三种食物各购多少时，成本最低，最低成本是多少？

可设甲购X千克，乙购Y千克，成本为Z，易得z=2x+y+50,再依题得约束条件；

作可行域

将直线L：2x+y+50向右上平移至L1，直线经过可行域上点M，且与原点距离最小，此时

二、最优解必须取整点

这类题根据实际题意，最优解必须取点，有两种情况：

（1）整点恰落在可行域的一条边界直线上

（2）整点落在可行域内部

以下各举一例说明处理方法

（Ⅰ）例如某工厂生产A、B两种型号的收录机，两种型号都需要经过两道相同工序，每台收录机所需的生产时间、销售利润及每月最大的加工能力为：

问A、B两种型号产品各生产多少台能使每月总利润最大？

解：设A型生产X台，B型生产Y台，每月总利润为Z

依题得约束条件

作直线1：300x+450y即2x+3y=0，把直线1向右上平移，直线最终与可行域边界直线2x+3y=25重合（斜率相同），且与原点距离最大。直线上满足条件的整点易于验辛找得：

故所求为A、B型分别生产2台、7台或5台、5台或8台、3台或11台、1台，利润均达最大，Zmax=3750（元）

这类题也不难处理，只要把横（或纵）坐标整数值代入到可行域符合条件的边界直线方程内，判断其相应纵（或横）坐标是否也为整数值，即得出整点，学生易把握。

（Ⅱ）设某公司用两种机器来生产某产品，第一种机器每台需3万美元及50元维护费，第二种机器每台需5万美元及20元维护费，而第一种机器的年利润每台有9万美元，第二种机器的年利润每台有6万美元，但政府核准外汇是30万美元，并且公司总维护费不得超过180元，问每种机器机器购买几台为好？

设第一种购x台，第二种购y台

（条件看似复杂，列草表易得）

得约束条件：

作可行域

作直线1：9x+6y=0即3x+2y=0，把L往右上平移，最终在可行域中M点位置直线距原点最远。

M（x、y）非整点。如何取整点是难题，行之有效的方法可用方格画出整点位置，用M点附近整点代入验证。此种做法要求可行域尽量画准确，有时对边界上模糊整点要代入约束条件验证。

如上例M附近整点可看出有（0.6）,(1.5),(2.5),(2.4)。易知（2.5）不合约束条件在可行域外，舍去。

（0.6）代入目标函数：z1=9×0+6×6=36

（1.5）代入目标函数：z2=9×1+6×5=39

（2.4）代入目标函数：z3=9×2+6×4=42

所以第一种机器买2台，第二种机器买4台为好。

这两种取整点的线性规划题有所不同，前者逐一验证，后者作图观察，猜想附近点，验证得出。值得注意的是两种取整点的题目均可能非唯一解。这种类型，若能借助电化手段教学效果最佳。

线性规划这节中若能把以上二大类三种题处理得当，应该说达到了数学目标要求。