不对称悬链线钢拱桥的放样技术

马得利

中铁九桥工程有限公司江西九江332004

摘要：本文通过对酉水大桥主桥拱肋线形放样为例，重点阐述了拱轴线为不对称悬链线线形的钢拱桥的放样方法及注意事项，为拱肋分段、钢板套料、工艺图绘制、胎架搭设及总拼等提供精准的数据。该桥的放样方法可为其它同类型钢拱桥的放样提供借鉴。

关键词：钢拱桥；拱轴线；悬链线；控制点；放样

1工程概况

酉水大桥主桥采用292m不对称上承式钢管混凝土桁架拱桥，拱肋中心线按两个半形悬链线设计，主拱肋桁架高度沿纵向变化，拱肋在拱顶中心高度为7.0m（拱肋平面内），小里程侧（拱肋左侧）拱脚桁架高度9.0m，大里程侧（拱肋右侧）拱脚桁架高度11.0m，拱肋桁架高度沿着水平方向按1.5次抛物线变化。

图1酉水大桥主桥立面布置图

主拱结构由4根拱肋与横向联结系组成，拱肋横向内倾角为2.897°，拱肋中心距在拱顶为9.5m，在小里程侧拱脚为14.5m，在大里程侧拱脚为18.902m，小里程侧悬链线全桥计算跨径为247m，矢高49.473m，拱轴系数m=1.9,大里程侧悬链线全桥计算跨径为337m，矢高93.029m，拱轴系数m=1.6,拱顶预拱度为192.4mm，拱脚预拱度为0mm，预拱度由拱顶到拱脚变化规律与拱肋桁架高度变化规律相同。

图2酉水大桥主桥横断面示意图

2钢拱桥放样的重难点

2.1、本桥左右两幅拱肋桁片横向内倾2.897°形成提篮拱，在放样时要分清楚所采用的拱轴线方程是拱肋所在平面内的方程还是拱轴线在铅锤面的投影方程，如果为拱轴线在铅锤面内的投影方程，如何将其转化为拱肋所在平面内的方程是放样过程中的一个重点及难点。

2.2、每幅拱肋桁片的桁架高度从拱脚到拱顶沿着水平方向按1.5次抛物线逐渐变化，其截面形式为变截面，如何依据变化形式推导出合适的方程是放样的重点及难点。

2.3、小里程侧与大里程侧拱脚不在同一高程上，且其拱轴线悬链线方程参数也不一样，如何选取合适的坐标系，将小里程侧与大里程侧拱轴线放样坐标统一到同一个坐标系中是放样的难点。

3放样过程

3.1、选取合适的坐标系及放样控制点

结合本桥的结构特点及线形变化，坐标系选取如上图1所示。控制点通常选取在节点、横隔板、加劲板、横撑、吊杆、开孔、变板厚及分段等位置处，如果上述控制点之间的间距较大（控制点间距一般为1.5m～2.5m），可适当额外选取一些非控制点来加密一些以使拱轴线放样更精准一些。

3.2、选取合适的拱轴线方程

图3悬链线线形示意图

悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为：y=a·cosh(x/a)，其中，a为曲线顶点到横坐标轴的距离。无铰拱圈承受与纵坐标成线性变化的分布荷载，当拱内无弯矩存在时，拱轴线为悬链线，其计算公式为：y1=f(chk·ξ-1)/(m-1)，其中f为矢高，m为拱轴系数（m多采用1.2～1.8），k为与m有关的参数，ξ为横坐标参数，k=ln(m+(m²-1)0.5)，ξ=2x1/L，L为跨径。

如果拱轴线方程为其在铅锤面内的投影方程，那么则须通过三角函数转换成其所在拱肋平面内的方程：Y=y/cos(θ)，θ为拱肋桁片横向内倾的角度。

3.3、计算出所选各控制点的横坐标x值

通过小里程侧拱肋及大里程侧拱肋起拱点的里程值、跨径及各控制点之间的距离，可依次计算出所选各控制点的里程值及横坐标x值，并且可通过里程值与x值的关系相互复核计算的准确性。

3.4、推导出各控制点的纵坐标y值的方程

如果拱轴线方程是开口向上的凹曲线，只需用拱轴线矢高f减去拱轴线方程的y值就可将拱轴线转换为开口向下的凸曲线，也可以先不用矢高f减去拱轴线方程的y值进行转换，待拱轴线放样完，将拱轴线沿着x轴镜像一下就变为开口向下的凸曲线，再将整个拱轴线线形向上移动矢高f就和前面转换的一样（为了放样简洁化及方便后期工艺图绘制，在此推荐用拱轴线矢高f减去拱轴线方程的y值来进行转换）,如果拱轴线方程是开口向下的凸曲线则可直接代入控制点x值进行计算y值。

图4拱轴线开口转换示意图

拱轴线方程：y=f-f(chk·ξ-1)/(m-1)

3.5、根据前述相关公式计算出与各控制点纵坐标y值相关的参数ξ与k值。

3.6、预拱度的计算

根据拱顶预拱度为192.4mm、拱脚预拱度为0mm、预拱度沿水平方向按1.5次抛物线变化及坐标原点的位置，可推导出预拱度计算方程如下：

h=-0.1924x1.5/（L/2）1.5+0.1924，其中h为预拱度值，x为控制点的横坐标。

3.7、计算出拱轴线上的任意控制点的切线斜率

Kq=-2f·k·sh(k·ξ)/L(m-1)

3.8、计算出拱轴线上的任意控制点的法线斜率

根据拱轴线法线斜率与切线斜率互为负倒数可得出法线斜率为：

Kf=-1/Kq=L(m-1)/(2f·k·sh(k·ξ))

3.9、计算出拱轴线上的任意控制点的法线倾角θ

θ=atan(k·f(x))

3.10、推导出拱轴线上任意控制点的径向高度H方程

H=(Hj-Hd)x1.5/(L/2)1.5+Hd,其中Hj为拱脚桁架高度，Hd为拱顶桁架高度。

3.11、计算出拱轴线上任意控制点对应拱肋上下边缘点的横向增量Δx及纵向增量Δy

图5拱轴线任意控制点对应拱肋上下边缘点示意图

Δx=H·cos（θ）/2

Δy=H·sin（θ）/2

3.12、由于坐标系选取在小里程与大里程相接的地方，拱肋线形位于第二象限和第一象限，分别计算出第二象限与第一象限拱轴线上任意控制点对应拱肋上下边缘点的坐标值

第二象限坐标计算：

x上=x-Δx=x-H·cos（θ）/2

y上=y+Δy=y+H·sin（θ）/2

x下=x+Δx=x+H·cos（θ）/2

y下=y-Δy=y-H·sin（θ）/2

第一象限坐标计算：

x上=x+Δx=x+H·cos（θ）/2

y上=y+Δy=y+H·sin（θ）/2

x下=x-Δx=x-H·cos（θ）/2

y下=y-Δy=y-H·sin（θ）/2

由于拱肋设置了预拱度，这里需要特别注意的是上述坐标计算公式中的拱轴线任意控制点的纵坐标y值应加上前面计算出来的相应预拱度h值。

3.13、由于小里程侧拱脚高程较大里程侧拱脚高程高，为了将小里程与大里程侧拱轴线纵坐标y值相衔接，则需要将大里程侧拱轴线纵坐标y值减去小里程侧拱脚高程与大里程侧拱脚高程的差值。

3.14、将上述计算出来的拱轴线上各控制点坐标及对应拱肋上下边缘坐标用样条曲线在CAD中绘制出来即为本桥拱肋线形。

4旋转坐标的转换

有些拱桥为坡拱，两拱脚连线与水平线呈一定的角度，如图6，在二维坐标系上，设有一点p(x,y),直线op的长度为r,直线op和x轴的正向的夹角为a。直线op围绕原点做逆时针方向b度的旋转，到达p’(s,t)。

图6坐标转换示意图

则坐标按如下公式进行转换:

s=rcos(a+b)=rcos(a)cos(b)-rsin(a)sin(b)

t=rsin(a+b)=rsin(a)cos(b)+rcos(a)sin(b)

其中将x=rcos(a),y=rsin(a)代入上述两式可得：

s=xcos(b)-ysin(b)

t=xsin(b)+ycos(b)

5结语

实践表明，酉水大桥主桥钢拱肋通过以上方法进行放样得出的拱肋线形与设计线形完全一致，本方法结合excel进行放样效率高、结合CAD易查找公式编错的地方、准确率高，放样结果可为拱肋分段、钢板套料、工艺图绘制、胎架搭设及总拼等提供精准的数据，对其它同类型钢拱桥的放样具有很好的指导及借鉴意义。

参考文献

[1]强士中.桥梁工程（下）.高等教育出版社.

[2]杨维国、许红叶.铁路桥梁与隧道工程.中南大学出版社.