初等数学对现代数学发展的影响

李静

李静辽宁省大洼县第三高级中学124200

摘要现代数学许多分支是在初等数学的基础上发展起来的，初等数学不仅为形成现代数学积累了丰富的知识，而且在数学思想和研究方法上为现代数学的研究和发展提供了良好的条件。今天，我们向数学发展历史长河的源头望去，从以下五个方面回顾初等数学对高等数学的影响，会使我们更加明了高等数学中一些内容的来龙去脉，有助于在中学教学中处理初等数学与高等数学知识的衔接工作。

关键词现代数学初等数学发展影响

初等数学对高等数学的影响主要有以下五个方面。

1．为开拓新的数学领域提供了方向

1.1沿初等数学的空间结构的各个方面进行拓广这其中的首要问题是建立相应的空间结构。如何建立空间结构以及沿什么方向开展研究，在很大程度上是受到初等数学的启迪。现代数学的许多成果都是沿初等数学的空间结构各方面进行拓广研究而得到的。例如，从有限个数相加拓广到无穷个数相加导致级数理论的出现；由平面和三维空间到n维甚至无穷维线性空间理论；数的大小顺序拓广成序关系、半序关系、平面上两点距离和复数模的概念分别拓广成度量空间和赋范空间，如此等等。这些拓广是初等数学的自然延伸。初等数学的空间结构为现代数学的研究指出了开拓方向。当前，在高等院校开设的许多高等数学学科就是在这种开拓研究中逐步形成的。从初等数学到现代数学的发展过程可以说是从有限到无限，从低维到高维，从低次到高次，从单变元到多变元的发展过程。由此导致极限理论和现代集合理论的诞生并在此基础上形成的微积分、高等代数、高等几何、泛函分析等高等数学学科。

1.2由宏观到微观，由微观到宏观从初等数学的函数平均变化率转化到对瞬间变化率的研究导致了导数概念的出现，并发展到今天的微分学；对空间几何形体的局部研究形成微分几何。而数理统计、拓扑学等则是基于由个别到整体，由微观到宏观方向的研究。

1.3研究事物的对立面现代数学的一些学科和学科内容是由研究初等数学中数学对象性质的对立面而得来的。非欧几何是典型的例子。根据与欧氏平行公理不同的两种平行公理分别建立了罗氏几何学和黎氏几何学。以动的观点代替静的观点，研究变与不变的对立统一关系，促使了对变换群及在其变换下不变量的研究，促使了高等几何和群理论的发展。由常量观念到变量观念的转变使常参数问题演变成多变元问题，也引导人们由数项级数研究函数项级数，由积分研究含参数积分。从确定性到随机性的考虑促使概率论的形成和发展。从清晰到模糊的考虑产生了近年来才出现的模糊数学。直到今天，现代数学还在从初等数学中取得启迪。

2．为新的数学理论研究提供原始模型

近现代数学中许多概念和理论都是以初等数学的东西为原始模型而提出并研究下去的。如上所述，平面和三维空间是度量空间和赋范线性空间构思的原始模型。此外，由直线垂直引出向量正交概念，由坐标轴垂直引出空间分解问题。泛函分析中的Hilbert空间理论尽管主要是揭示无穷维内积空间性质的，但归根结底它也是以平面和三维空间为原始模型模仿出来的。近世代数中的群、环、域是什么？简言之，只不过是象整数和有理数的一些东西罢了。从数学分析中的凸函数理论，赋范空间中的凸球面理论里，我们可以看到初等数学中的抛物线和球面的影像……。现代数学的许多空间结构、概念等直接取自初等数学。初等数学为新的数学设想提供了模型，使我们得以有针对地、有目的地开展研究，发现并形成一系列现代数学理论。

3．为新的数学领域提供丰富的研究内容

初等数学里的许多东西成为现代数学所研究的内容。初等数学有加法、乘法、高等数学也广泛地研究加法和乘法。象矩阵的加法和乘法，极限和微分的加法法则，乘法法则等等。为什么我们把矩阵那种“离奇”的运算称为加法和乘法？就因为这些运算的性质象或有点像数的加法和乘法。初等数学有减法和除法，高等数学研究负元、逆元、可逆性、谱理论。初等代数研究多项式因式分解，而环理论中研究元素的因子分解。对应着初等数学的坐标系，勾股定理，高等数学研究基底、维数、福里叶级数、赋范正交系的完全性和封闭性。在平面几何里，三角形经平移、旋转、对称后仍保持全等，边及角度均保持不变。而研究在射影变换下的不变量便形成射影几何学。初等代数里有整数的同余问题，高等数学便研究商空间，初等数学研究长度、面积、体积，高等数学则研究测度、、、、、、总之，初等数学为现代数学提供了大量的课题和丰富的研究内容，其研究结果构成诸高等数学学科的重要篇章。

4．初等数学体现的数学思想指导着现代数学的研究和发展

初等数学所体现的数学思想成为现代数学的重要思想。在运用函数思想研究新对象的过程中产生了抽象函数、泛函、算子、广义函数等函数的推广概念及相应的理论，统一处理了数学本身和工程物理中的以种种面貌出现的不同问题，显示了新的数学理论的巨大威力。运用方程思想研究函数和算子形成常微分方程、偏微分方程、算子方程等理论。在数学分析里化重积分为累计积分的构思是与初等数学里的逐步消元法相沟通的。解析几何所突出体现的数形结合思想在现代数学里等到广泛的应用，象泛函分析、微分几何等都是用分析的方法来研究几何问题。在优化思想的影响下，积极开展了对条件极值、线性规划和试验的最优化问题的研究。初等数学中求近似值所体现的逼真思想也同样有力地指导着现代数学的研究。象一致逼近、积分逼近，以测度逼近以及对稠密集和余项的研究等等成果均是基于这种数学思想取得的。近年来流形理论的新发展和纤维丛理论是现代数学中处于前沿的东西。所谓n维流形是一个拓扑空间，其上每点的邻域可以近似地看成n维欧氏平面的小球。这里应用的正是初等数学中的近似和逼近思想。由此可见，即使在现在初等数学中处理问题的数学思想还在对现代数学的发展发挥着巨大的影响，今后也将如此。

5．初等数学的局限性制约也促进着现代数学的发展

随着人们对自然和社会认识的深化和科学技术的突飞猛进，初等数学在理论和应用上日益暴露出局限性和缺陷。这些局限性一方面制约着近代数学的发展速度和发展水平，甚至引起数学危机，另一方面也给现代数学的发展提供了动力，指出了方向。正是对这些局限性的深化研究才出现了实数理论、极限论和现代集合论，为整个现代数学奠定了牢固的基础，在20世纪中期迎来现代数学的大发展。现代数学首先是在初等数学试图完善自己的地方，在试图完善自己的过程中形成和发展的。

参考文献

【1】刘福寿王丽萍.浅谈高等数学与初等数学的区别与联系[M]江西师范大学学报1993.8.第17卷67~68页

【2】冯天祥.初等数学对高等数学的影响[M]江西师范大学学报1993.8.第17卷87~88页