2010年一道高考解析几何试题的推广

李建军

李建军四川省泸州老窖天府中学646000

2010年高考数学四川卷理科（20）题：

已知定点A（-1，0），F（2，0），定直线l：x=1/2，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到定直线l的距离的2倍。设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N。

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由。

此题第（Ⅰ）小题是以人教社教材中的例题直接改编的。第（Ⅱ）小题暗含数学探究，考查了解析几何的通性通法．通过思考与探究，本题（Ⅱ）也含有教材背景，其数据可以推广到一般情形，本题的双曲线可推广到椭圆、抛物线。

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②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x=2，则B（2，3），C（2，-3），AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（1/2，3/2），FM=（-3/2，3/2）。

同理可得FN=（-3/2，-3/2）。

因此FM·FN=（-3/2）×（-3/2）+（-3/2）×3/2=0，

综上，FM·FN=0，即FM⊥FN。

故以线段MN为直径的圆过点F。

这道试题的数据可推广到一般情形，得到命题1。

命题1：设双曲线x2/a2-y2/b2=1，A为左顶点，F为右焦点，右准线为l：x=a2/c，过F的直线与双曲线交于B，C，AC，AB分别交l于M，N两点，那么，以MN为直径的圆过F。

命题1的证明可仿上面进行，此处从略。

类比命题1，通过思考与探究，得到了命题2和命题3。

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综上，总有以为直径的圆过F。

命题3：设抛物线y2=2px，F为焦点，O为顶点，过F的直线交抛物线于B，C两点，OB，OC分别交准线于x=-于M，N两点，那么，以MN为直径的圆过F点。

命题3的证明方法与教材（人教版）第二册（上）第133页B组题第二题的解答类似，此处从略。

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有趣的是命题3的证明方法又回归到人教版教材中的通性通法。笔者在想，上面的高考试题的编拟可能是受到教材题目的启发而精心创作的。由此看来，数学教学应引导学生充分注意教材资源的利用与开发，应充分重视教材中定理、公式、例题、习题的解答过程，更应充分重视与解答过程相伴而生成的数学思想方法，应避免大量地使用教辅资料以减轻学生和教师的负担。