关于对含受控源线性网络建立状态方程的系统公式法的讨论

林雪峰

（中国能源建设集团新疆电力设计院有限公司新疆维吾尔族自治区乌鲁木齐市830002）

摘要：本文讨论了关于含受控源的线性网络的状态方程的系统公式法，并且通过实例进一步阐述了其具体方法。

关键词：公式法；受控源；线性网络

DiscussionoftheSystemFormulaMethodofEstablishingStateEquationforContainedControlledSourceofLinearNetwork

Linxuefeng

（CHINAENERGYENGINEERINGGROUPXINJIANGELECTRICPOWERINSTITUTECO.,LTD,Urumqi830002，XinjiangUygurAutonomousRegion，China）

ABSTRACT:Thispaperdiscussesthesystemformulamethodofestablishingstateequationforcontainedcontrolledsourceoflinearnetwork,then,expoundstheconcretemethodsthroughtheexample.

KEYWORDS:formulamethod;controlledsource;linearnetwork

引言

在建立网络状态方程的过程中，按KCL和KVL分别列写出电流方程和电压方程后，还要消去非状态变量。对于大型复杂网络而言，消去非状态变量这一步常常是很繁琐的，所以不满足实际的需要。系统公式法特别适用于大规模网络的计算机辅助分析，所考虑的网络不限于常态网络，也可以是非常态的网络。对于含受控源和可化为受控源的二端口元件的线性网络，在用系统公式法建立状态方程时，其基本步骤与不含受控源的线性网络是相同的。本文讨论了关于含受控源的线性网络的状态方程的系统公式法，包括规范树的选取、状态变量的选择等，并且通过实例进一步阐述了其具体方法。

1对含受控源的线性网络建立状态方程的系统公式法

1.1规范树的选取

一个网络状态变量的总数称为网络复杂性阶数，简称为网络的阶数。网络复杂性的阶数又等于网络中可指定的独立的初始条件的个数。它也等于网络输入?输出方程的通解中出现的待定积分常数的数目。

网络中仅由电容元件或仅由电容元件和独立电压源构成的回路称为电容回路。把仅由电感元件或仅由电感元件和电流源构成的割集称为电感割集。既无电容回路又无电感割集的网络称为常态网络。含有电容回路或电感割集的网络称为非常态网络。

在不含受控源的常态网络中，因为各电容电压（或电荷）和各电感电流（或磁链）都是独立的，故网络的复杂性阶数等于网络中储能元件的总数。在不含受控源的非常态网络中，对于每一个电容回路，按照KVL，该回路各电容电压之间存在一个线性约束关系，使该回路独立的电容电压数较电容数少1。而对于每一个电感割集，按照KCL，该割集各电感电流之间存在一个线性约束关系，使该割集独立的电感电流数较电感数少1。因此，非常态网络的复杂性阶数等于网络中储能元件的总数减去独立的电容回路数和独立的电感割集数，即。

例如图1所示非常态电路，共有5个储能元件，一个电容回路和一个电感割集，所以该网络的阶数为3。电容回路中只能选一个电容电压作为独立变量，同理两个电感电流也只能选一个作为独立变量。

图1非常态网络

对于一个复杂的非常态网络，由于储能元件数目多，有时很难直观地确定网络中独立的电容回路数和独立的电感割集数。为了确定独立的电容回路数，可将网络中所有电阻、电感、电流源断开，从而得到一个仅由电容和电压源构成的子网络。非常态网络中独立的电容回路数等于子网络的独立回路数，即子网络的基本回路数（连支数）。为了确定独立的电感割集数，可将网络中所有电阻、电容、电压源短路，从而得到一个仅由电感元件与电流源构成的子网络。非常态网络中独立的电感割集数等于子网络的独立割集数，即子网络的基本割集数（树支数）。

如图2(a)所示非常态网络共有12个储能元件。由于只有一个电感割集，因此它是独立的。为确定独立的电容回路数，将所有电感、电流源、电阻断开，得到两个分离的子网络，如图2(b)所示，两个子网络的独立回路数分别为3和2，因此有5个独立的电容回路，所以图2(a)所示非常态网络的阶数为12?5?1=6。

图2复杂的非常态网络

电容割集和电感回路对网络复杂性的阶数没有影响，即不会改变网络复杂性的阶数。虽然不影响复杂性阶数，但电容割集会在割集两端引入恒定的电压分量，电感回路会在回路中引入恒定的电流分量。

当网络中存在受控源时，网络的阶数难以确定。在图3所示网络中，由于电容电压uC不独立，因此网络的阶数为零，说明受控源的存在使网络的阶数降低。通常情况下受控源不一定会降低网络的阶数，对于受控源存在会不会影响网络的复杂性的阶数并没有一个明确的规律。

在选取规范树时，对于二端口电阻元件中两条支路的处理以能够满足式1形式的元件VCR方程为依据。例如，VCCS的两条支路均应选为连支，VCCS的参数为Gl的元素；CCVS的两条支路均应选为树支，CCVS的参数为Rt的元素。对于CCCS，应选控制支路为树支，受控支路为连支。而VCVS则应选控制支路为连支，受控支路为树支。其他的二端电阻元件如回转器的电压电流关系为u1=?ri2，u2=ri1，或i1=gu2，i2=?gu1，根据式(4.5.1)可知，回转器的两条支路必须同为树支或连支。同理，理想变压器和负阻抗变换器的两条支路中，应任选一条为树支，另一条为连支。

1.2状态变量的选择

用状态变量法分析网络时，在确定网络的复杂性阶数后，还需要选取一组适当的变量作为状态变量。由状态和状态变量的定义可知，网络在某时刻的状态实质上反映了该时刻网络的储能。电网络中储存的能量由电感磁链（或电流）和电容电荷（或电压）确定。只要知道给定网络中变量组（?、q）或（iL、uC）在t=t0时刻的值，同时又知道t?t0时刻的输入量，则给定网络在t?t0的任何时刻的行为将完全被确定。因此，一般情况下，可选一组独立的（iL、uC）或（?、q）作为状态变量。对于线性时不变网络，常选一组独立的电容电压和电感电流作为状态变量。由于线性时变网络中的参数C(t)、L(t)是随时间变化的，当C(t)、L(t)出现跳变时，电容电压uC(t)、电感电流iL(t)可能不连续，则uC(t)、iL(t)的导数将为无限大。但q(t)、?(t)总是连续的，因此，对线性时变网络宜选一组独立的电容电荷和电感磁链作为状态变量。对于一个网络，其状态变量组的选择并不是唯一的。在某些情况下，若网络中的一些变量（如支路电流、结点电压、回路电流、割集电压以及它们的导数等）与一组独立的uC、iL（或q、?）之间存在非奇异的线性变换关系，则这些变量也可选作状态变量。

1.3基本割集矩阵的列写

按先树支后连支的顺序对各支路排列，八类支路排列依次为电压源、树支电容、树支电阻、树支电感、电流源、连支电感、连支电阻、连支电容。按此八类支路将基本割集矩阵Qf分块为

消去非状态变量,整理后便可得到含受控源的线性网络的状态方程。

1.5举例

用系统公式法建立如图4所示有源网络的状态方程。

由此可得基本子阵Ql的各分块阵：

2中的各系数矩阵为：

由2可得：

将式⑨代入式⑧得

⑩

2结论

本文假设网络中的受控源对网络复杂性的阶数无影响。对含有受控源的线性网络，系统公式法的列写步骤总结如下：1、分析电路图，做网络线性图，选规范树、状态变量。2、写出基本割集阵Qf并将基本子阵Ql分块。3、写出电阻支路电压电流关系方程，并写出参数矩阵、系数矩阵。4、将系数矩阵代入公式③将整理好的、代入④和⑤。

参考文献

[1]周庭阳．电网络理论[M]．机械工业出版社，2008，9．