新课标下由递推数列求通项公式的方法认识

王杰士

湖北松滋市贺炳炎中学王杰士

由数列递推公式求其通项公式历来是高考的重点和热点题型，自然成为师生研究的重点，各种求解方法也多见于各种杂志和书籍，但仍没摆脱“类型+方法”的桎梏，致使学生面对具体问题仍束手无策．那么，在新课程全面实施，数学课程应该返璞归真，淡化问题类型，注重解决问题最本质的方法的今天，本类问题的求解思路是什么？哪些方法是通法？

一、迭代法与累加法、累乘法是最基本的方法，是通法之一．

点评事实上，等差或等比数列的通项公式均可用上述三种方法推证得到，这也是三种方法的教材背景．它们的求解过程就是把递推关系式像“链条”一样，按n,n－1,n－2……，3,2,1，把an逐次“拉开”，层层迭代．这种方法我们称为迭代法．这种解题方法的基础是递推的思想方法．《普通高中数学课程标准》第85页指出：“迭代法是解决问题的数学方法之一，应使学生结合具体问题去体会迭代法的意义．

至此，形如an+1=an+f(n)的数列，可用迭代法、累加法求通项；

形如an+1=an•f(n)的数列，也可用迭代法、累乘法求通项．

二、转换与化归的思想方法是高考考查重点，也是递推数列求通项公式的通法之二．

点评本解法经历了以下几个转化：通过拆分①式转化为②，运用换元②转化为③，求得yn又转化为④，运用④式用迭代法通过等比数列求和，求得数列{xn}的通项公式，从中可以领会和揣摸命题人的真正意图是以数列知识为载体，考查学生的化归能力，即用最基本的等比数列知识解决复杂的数列问题．可能，老师们会问：学生想不到由①转化为②式，更看不出②式表明数列{xn－axn-1}是等比数列？笔者认为数列教学中培养学生向等差、等比数列转化的强烈的目标意识以及进行“类似结构”的训练是解决该问题行之有效的办法．

可见，这里的转化化归有两个方向：一是向等差（比）数列转化；二是向简单的递推关系转化；如an=an-1+f(n)等．

普通高中《数学课程标准》第35页指出“能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”．可见，让学生运用已有的等差、等比数列知识去解决新的数列问题是课程标准的要求，也是高考“能力立意”的要求，应引起师生的重视．

三、观察——归纳——猜想——证明是递推数列求通项公式的最朴素的方法，是通法之三．

点评由于新课程标准文科版删去了数学归纳法的内容，似乎也降低了对理科学生的要求，由于对新课程理解的偏差，致使老师们少讲或淡化了观察——归纳——猜想——证明（一般用数学归纳法证）这种重要的递推数列求通项公式的通法．更何况这里的证明其实可不用数学归纳法．