浅谈如何解答图形运动型试题

叶超毅

叶超毅（福建省南安市侨光中学福建南安362300）

摘要：近来中考数学卷中的数学压轴题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数学思想加以解决。

关键词：压轴题运动型化动为静数学思想

中图分类号：G628.88文献标识码：A文章编号：1671-5691（2018）08-0007-02

探究几何图形在运动变化过程中与图形相关的某些量（如角度，线段，周长，面积及相关的关系）的变化或其中存在的函数关系，这类题目叫做图形运动型试题。

对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形（如特殊点，特殊值，特殊位置，特殊图形等）逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合，分类讨论，转化等数学思想加以解决。当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解。

解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题。

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

近来中考数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。从数学思想的层面上讲：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类思想；转化思想等。研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向。只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向。

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容。动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系。那么，我们怎样建立这种函数解析式呢？下面以点的运动型问题举例分析。

例1：如图，已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．

(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；

(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．

①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；

②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．

解：（1）∵二次函数的图象经过点C（0，-3），

∴c=-3.

将点A（3，0），B(2,-3)代入，得，解得，

∴，配方得，∴对称轴为直线。

（2）①由题意可知BP=OQ=0.1t，∵点B、点C的纵坐标相等，∴BC∥OA。过点B,点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D、E。要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB，即QE=AD=1.又QE=OE-OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t,∴2-0.2t=1，解得t=5。即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形。

②设对称轴与BC、x轴的交点分别为F、G，∵对称轴直线是线段BC的垂直平分线。

∴BF=CF=OG=1，又BP=OQ，∴PF=QG。又∵∠PMF=∠QMG，∴△MFP≌△MGQ，∴MF=MG，∴点M为FG的中点。

∴，由，，

∴,又BC=2，OA=3，∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒，∴,∴当t=20秒时，面积S有最小值3.

【点悟】解决这类问题的关键是把握量与量之间的关系，可能会涉及全等、相似等.

例2：如图（1），已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点o和x轴上另一点E（4,0）.

（1）当x取何值时，该抛物线取最大值，是多少？

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图(1)所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图(2)所示）.

①当t=114时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．

解：(1)因抛物线经过坐标原点O（0，0），点E(4,0)，故可得c=0，b=4，所以抛物线的解析式为，由，得当时，该抛物线的最大值是4.

（2）①点P不在直线ME上。已知M点的坐标为（2，4），E点的坐标为（4，0），设直线ME的关系式为，于是得，解得，所以直线ME的关系为，由已知条件易得，当时，，。

∵P点的坐标不满足直线ME的关系式，∴当时，点P不在直线ME上。

②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5.

∵点A在x轴的非负半轴上，且N的抛物线上，∴OA=AP=t，∴点P、N的坐标分别为（t，t），（t，，

∴，∴。

（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P、N、C、D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，

∴。

（ⅱ）当PN≠0时，以点P、N、C、D为顶点的多边形的四边形。∵PN∥CD，AD⊥CD，

∴。

当时，解得t=1或t=2。成而1，2都在范围内，故以点P、N、C、D为顶点的多边形的面积为5。

综上述，当t=1，2时，以点P、N、C、D为顶点的多边形的面积为5，

当t=1时，此时N点的坐标（1，3）；当t=2时，此时N点的坐标（2，4）。

【点悟】图形运动问题，指以三角形（如等边三角形，直角三角形等）或四边形来创设情景，探索三角形（或四边形）在运动变化过程中蕴含的规律或一些相关的结论.