浅谈空间向量的工具性

袁红兵孙加品

江苏省盐城市伍佑中学袁红兵孙加品

向量作为高中教材新增内容，以其独特的数形结合和坐标运算，在解决空间图形中的一些问题时，明显地体现出快捷、灵活和实用等特点，从而已被公认为是解决立几图形问题的有效工具，为帮助同学们能系统地理解空间向量知识，笔者在此对空间向量工具性，作一些说明。

一、空间向量是证明空间平行关系的工具

1.空间向量是证明空间线线平行的工具

若a,b是空间两条不重合的直线，它们的方向向量分别是a、b，则“a=λb”是“a∥b”的充要条件，“a∥b”是“a∥b”的充要条件，可应用之证明线线平行。

2.空间向量是证明空间线面平行的工具

(1)若直线a是平面α外的一直线，b，c分别是平面α内两相交直线，且a,b,c的方向向量依次是a,b,c,那么“a=xb+yc”(x,y是实数),是向量“a、b，c共面”的充要条件，向量“a、b，c共面”是“a∥α”的充要条件。可应用之证明线面平行。

(2)若直线a是平面α外的一直线，平面α的一法向量是n,直线a的方向向量是a，那么“a•n＝0”是“a⊥n”的充要条件，“a⊥n”是“直线a∥平面α”的充要条件，可应用之证明线面平行。

3.空间向量是证明平面与平面平行的工具

(1)若平面α内内两相交直线a1，b1的方向向量a1、b1，平面β内两相交直线a2、b2的方向向量a2、b2，那么“a1∥a2且b1∥b2”是“平面α∥平面β”的充要条件，可应用之证明面面平行。

(2)若平面α与平面β的法向量分别是n1，n2,那么“n1∥n2”是“平面α∥平面β”的充要条件，可应用之证明面面平行。

二、空间向量是证明空间垂直关系的工具

1.空间向量是证明空间线线垂直的工具

若a,b是空间两条不重合的直线，它们的方向向量分别是a、b，那么“a•b=0”是“a⊥b”的充要条件，“a⊥b”是“a⊥b”的充要条件，可用之证明两直线垂直。

2.空间向量是证明空间线面垂直的工具

（1）直线a的方向向量是a，平面α内两相交直线b,c的方向向量分别是b,c。那么“a•b=a•c=0”是“直线a⊥平面α”的充要条件，可用之证明直线与平面垂直。

（2）若直线a的方向向量是a，平面α的方向向量是n，那么“a∥n”是“直线a⊥平面α”的充要条件，可用之证明直线与平面垂直。

3.空间向量是证明空间面面垂直的工具

若平面α与平面的法向量分别是n1，n2,那么“n1•n2=0”是“平面α⊥平面β”的充要条件，可应用之证明面面垂直。

三、空间向量是求空间角大小的工具

1．空间向量是求空间两相交直线或异面直线与所成角大小的工具若向量a，b是空间两条直线的方向向量，向量a与b的夹角，记作<a,b>.则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，若设a＝(a1，

【点评】立体几何涉及的距离问题较多，其一般方法是找出代表相应距离的线段，然后计算这条线段对应向量的模；但在求点到平面的距离时，只要知道过这点的一条平面的斜线段及其方向向量，就可应用本题（2）的方法求得点面距离。