小议几何直观

王海燕

王海燕

摘要：本文主要探讨了在数学教学中，教师应引导学生树立几何直观，从而使自己能更准确、更简单地解绝数学习题，进而提高其学习数学的兴趣。

关键词：数学教学；几何直观；解决数学问题

《数学课程标准》将“核心概念”由原来的六个增加到十个，几何直观就是其中的一个。课程标准提出培养和发展学生的几何直观能力，对几何直观概念的理解以及几何直观在教学中应用价值的探讨，就成为数学教学中一个备受关注的问题。

对于几何直观的概念，从字面上似乎不难理解：“几何”在很多人印象中就是“图形”的代名词，“直观”简单的说就是直接看，“几何直观”就是指借助见到的或想到的图形的形象关系产生对数量关系的直接感知，利用图形描述和分析问题。值得一提的是，图形是几何直观的载体。所谓的图形，是一个广泛的含义，不仅仅指几何中的图形，而是泛指学生在解决问题的过程中画出的所有有助于其观察、思考、分析的图形。几何直观具有发现功能，也是理解数学内涵的有效渠道，同时能够有效的帮助学生强化记忆。

一、几何直观助猜想

很多数学问题的解决，灵感往往来自于几何直观。几何直观可以帮助学生直观的预测结果，把抽象复杂的数学问题变得形象明确，在解决问题的过程起到至关重要的作用。

例如，如图(1)，AB是半圆的直径，C为弧AE的中点，CD⊥AB于点D交AE于点F，试找出图中哪两条线段相等，并说明理由。

初看本题所给图形(1)，学生很难准确地判断出哪两条线段相等，但是只要学生变化点E的位置，画出几个不同图形，如图(2)和图(3)，就会发现：在图形变化的过程中，线段AF与线段CF的长度始终保持相等，从而准确地猜想出结论，打开解决问题的突破口。而图中线段AF与线段CF，是具有公共端点的两条线段，这就会启迪学生猜想：如果连接AC，那么△AFC为等腰三角形。而要证明△AFC为等腰三角形，只需证明∠CAF=∠C即可。此时就将要证明的线段相等的问题转化为证明角相等。观察图形不难发现，这两个角都是圆周角，这就与已知条件中圆的背景相吻合，从而为此题的推理证明拉开了帷幕。

此例中，学生对相同背景下的不同图形的直观观察，不断猜想，层层深入，成为解决问题的关键所在，这就是几何直观的作用。

二、几何直观启思路

在鲁教版七年级上册第二章第三节《勾股定理的应用举例》中展现的是这样一道题：有一个棱柱，如下图(1)，它的底面是边长为2.5厘米的正方形，侧面都是长为12厘米的长方形。在棱柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，要爬行的最短路程是多少？

这是一道非常有趣的问题，对学生来说也是一道有一定难度的问题。首先，解决此题的前提是把三维图形转化为二维图形，这在学生之前的学习经验中并不常见；其次，蚂蚁在爬行中经过不同的侧面时，计算出的线段AB的长度也不尽相同，如下图(2)、图(3)。而很多学生受主观意识的限制，思考过程中往往会停驻于自己找到的一种方法，出现思路正确，考虑不全面的现象，这是解决这一问题的第二个难点。

教学中，我们提倡首先让学生在想象的前提下尝试着在自制的棱柱侧面上寻找最短路线，大部分学生都能画出自己认为最短的一条线。当然，不同的学生会画出不同的路线，也有部分同学能在长方体侧面上进行不同的尝试，画出多条路线。在学生有了一定的空间想象的基础之上，指导学生进一步将棱柱侧面展开成长方形，学生会发现利用“两点之间的所有连线中，线段最短”这一结论是确定路线的基本原则，一目了然的判断出自己最初尝试的思路是否正确。最后借助学生画出的经过不同侧面的线段AB，引发学生主动的猜测质疑，从而产生思维碰撞，探究的问题由此变得更加活跃有价值，将学生的学习热情推到高潮。

在解决这一问题的过程中，教师指导学生将空间想象，动手操作和思考结合起来，借助图形的主观性特点，运用几何直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言有机的结合起来，使抽象思维同形象思维结合起来，充分展示问题的本质，实现数学问题与图形之间的相互转化，相互渗透，启迪学生的思维，突破数学理解上的难点，为探究数学问题开辟了一条重要的途径。

三、几何直观促内化

几何直观不仅仅在几何学习中发挥着重要的作用，在代数、统计等学习领域中的运用也十分广泛。如在学习函数时,借助图象进行思考分析；学习不等式组时，借助数轴确定解集；研究统计时，借助各种统计图形象的表示数据，增进学生的理解等等。这些数学教学中我们经常方使用的法和手段，能够加深学生对问题的认识和理解，使研究问题的过程成为学生内化知识的过程，所以学生对于借助几何直观发现验证的结论，掌握的往往会更扎实，更牢固。

几何直观是一种意识，存在于数学学习的各个领域，渗透在整个数学教学中，如课本中采用的“看一看”“折一折”“拼一拼”“画一画”“议一议”等活动方式，都是在引导学生通过触摸、观察、测量、动手实验，把视、听、触等各种感官同时调动起来，促进学生的思维活动，培养学生的几何直观能力。只要我们在日常教学中注重挖掘和培养，几何直观将为学生的数学学习插上腾飞的翅膀。

作者单位：山东省文登市教育教学研究培训中心

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