谈构造几何图形在解题中的应用

彭福洪

贵州瓮安县第三中学彭福洪

伟大数学家华罗庚对数形结合在学习数学中的作用作了这样的阐述：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远相联系，切莫分离.”这段分析精辟地阐述了数与形之间的密切关系和相互作用.

在解题中，对于解决抽象的“数”的问题，可充分挖掘其条件的几何意义，进而构造三角形、正方体、长方体、正四面体等几何图形并利用它们的有关性质、定理，借助“形”的直观进行解题，可使问题获得避繁就简、化难为易的新颖解法，同时对创造性思维的开发与培养也很有益处.应用好构造解题的关键是:一要有明确的方法,即为什么目的而构造;二要弄清条件的本质特点,以便重新整合.

以下举例谈谈鄙人在教学过程中的几点体会，不当之处，敬请批评指正.

例1已知三棱锥中，分别是的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.

（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；

（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；

（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，

求△ABC的边长.

（Ⅰ）证明：连结CF.

恩格斯指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系.”“数”与“形”是数学的基本研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系.数形结合，就是在解决代数问题时，揭示出隐含在它内部的几何背景，启发思维，找到解题途径；或者在研究几何图形时，注意从代数的角度，通过数量关系的研究解决问题.

“构造”是一种重要而灵活的思维方式，它没有固定的模式，要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力.构造思想解题的最大特点是调整思维视角，在更广阔的背景下考察问题中所涉及的代数、几何元素及其相互关系.