求解浅水波方程的新方法

[摘要]该格式从热力学第二定律出发，通过插入限制器和在单元交界面处进行高阶重构，得到一类高分辨率的熵稳定格式，有效的避免了非物理现象。算例结果表明格式具有高精度，本性无振荡性质
[关键词]熵稳定格式 高分辨率 限制器

浅水波方程在水利、海岸、海洋和环境工程等领域都具有重要的应用。将浅水波方程和污染物迁移方程耦合，可以模拟由交通污染事故所导致的有毒有害物质在重要水域的迁移过程，对下游水质进行预测，为交通污染事故应急处置提供指导。关于浅水方程的数值求解，处理间断是其困难所在。
一、浅水波方程组

二、熵守恒格式

数值算例1 二维浅水波方程组圆形溃坝问题
计算结果如图1所示，可见数值解对稀疏波和激波都准确地捕捉到了，然而在激波上沿却产生了明显的振荡，这是因为熵守恒格式没有任何耗散的机制而表现出较强的色散效应。图1(b)显示对应的总熵（总能量） 关于时间的变化。由于采用了三阶无振荡Runge-Kutta方法，因此总熵（总能量）有轻微耗散，但随着CFL数的减少，耗散量也随之减少。

图1 算例1：二维浅水波方程组圆形溃坝问题
三、高分辨率熵稳定格式
为了消除振荡，必须对熵守恒格式加入适量粘性，同时可满足熵稳定条件。首先考虑Roe格式的数值粘性项，Roe格式的数值粘性项也可用熵变量的差分来表示。对二维浅水波方程组，有

最后，采用特征变量的逐维分裂方法进行WENO[5]重构,便得到高分辨率的Eyee格式，即EYee-WENO格式：

数值算例2 二维浅水波方程组圆形溃坝问题

图 2 算例2：二维浅水波方程组圆形溃坝问题
可见由于数值粘性的加入，该格式的解没有产生明显的振荡,因而高分辨率熵稳定格式的解比EC格式的捕捉效果更为锐利。
[参考文献]
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（作者单位：武警工程大学 基础部 陕西西安）